【三角函数变换公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、几何等领域。掌握常见的三角函数变换公式，有助于简化计算、求解方程以及分析周期性现象。以下是对常见三角函数变换公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和余割的关系 |
二、角度的加减公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
三、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ | 正切的二倍角公式 |
四、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ | 正切的半角公式 |
五、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦与余弦的乘积转和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦与余弦的乘积转和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦与正弦的乘积转和差 |
六、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦和转积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦差转积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦和转积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦差转积 |
七、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ | 奇函数性质 |
通过掌握这些三角函数变换公式，可以更高效地处理三角函数相关的计算问题。在实际应用中，灵活运用这些公式能够大大简化运算过程，提高解题效率。建议在学习过程中多做练习，加深对公式应用场景的理解。
