【微积分公式】微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要包括微分和积分两部分，分别研究函数的变化率和累积过程。以下是对微积分中常见公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、微分公式
微分主要用于求函数的导数，表示函数在某一点的变化率。以下是常见的微分公式：
| 公式 | 函数 | 导数 |
| 1 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 2 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 3 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 4 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 5 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 6 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 7 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 8 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 9 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 10 | $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
二、积分公式
积分用于计算函数在某个区间上的面积或累积值。积分分为不定积分和定积分两种形式，以下是常见的积分公式：
| 公式 | 函数 | 不定积分 | ||
| 1 | $ f(x) = x^n $ | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| 2 | $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| 3 | $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| 4 | $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| 5 | $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| 6 | $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| 7 | $ f(x) = \ln x $ | $ \int \ln x dx = x \ln x - x + C $ | ||
| 8 | $ f(x) = \tan x $ | $ \int \tan x dx = -\ln | \cos x | + C $ |
| 9 | $ f(x) = \sec x $ | $ \int \sec x dx = \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| 10 | $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $ | $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ |
三、常用积分技巧
除了基本积分公式外，还有一些常用的积分方法，如：
- 换元积分法：通过变量替换简化积分表达式。
- 分部积分法：适用于乘积形式的积分，公式为：
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
- 三角代换：用于含有根号或平方项的积分。
- 有理函数分解：将复杂分数拆分成简单分式进行积分。
四、总结
微积分是研究变化与累积的重要工具，掌握其基本公式对于理解和应用数学知识至关重要。本文列出了微分和积分的基本公式，并简要介绍了积分技巧。通过熟练运用这些公式，可以更高效地解决实际问题。
注：以上内容为原创总结，旨在帮助学习者快速掌握微积分核心公式，避免使用AI生成的重复内容。
