$$

\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)

$$

根据三角函数的加法公式：

$$

\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

$$

代入 $a = 45^\circ$ 和 $b = 30^\circ$，我们有：

$$

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

$$

我们知道以下基本的三角函数值：

$$

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

$$

将这些值代入公式：

$$

\sin 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)

$$

简化计算：

$$

\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

$$

因此，$\sin 75^\circ$ 的值为：

$$

\boxed{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}

$$