【0-1分布的期望和方差】在概率论与数理统计中,0-1分布(也称为两点分布或伯努利分布)是最简单的一种离散型概率分布。它描述的是一个只有两种可能结果的随机试验,例如“成功”或“失败”,“是”或“否”,“正面”或“反面”等。
0-1分布的随机变量通常用 $ X $ 表示,其取值为 0 或 1,分别对应事件不发生和发生的概率。设事件发生的概率为 $ p $,则事件不发生的概率为 $ 1 - p $。因此,0-1分布的概率质量函数可以表示为:
$$
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & x = 1 \\
1 - p, & x = 0
\end{cases}
$$
接下来,我们来总结0-1分布的期望和方差。
一、期望(均值)
期望反映了随机变量在长期试验中平均取值的大小。对于0-1分布来说,期望就是事件发生的概率 $ p $。
计算公式如下:
$$
E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p
$$
二、方差
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度。对于0-1分布,方差的计算方式如下:
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
由于 $ X $ 只能取 0 或 1,所以 $ X^2 = X $,因此:
$$
E(X^2) = E(X) = p
$$
于是:
$$
Var(X) = p - p^2 = p(1 - p)
$$
三、总结表格
概念 | 公式 | 说明 |
期望 | $ E(X) = p $ | 事件发生的概率 |
方差 | $ Var(X) = p(1 - p) $ | 衡量随机变量的波动性 |
四、实际应用举例
假设我们进行一次抛硬币实验,正面朝上的概率为 $ p = 0.5 $,则:
- 期望:$ E(X) = 0.5 $
- 方差:$ Var(X) = 0.5 \times (1 - 0.5) = 0.25 $
如果我们将硬币换成不公平的硬币,比如正面概率为 $ p = 0.7 $,则:
- 期望:$ E(X) = 0.7 $
- 方差:$ Var(X) = 0.7 \times 0.3 = 0.21 $
可以看出,随着 $ p $ 接近 0 或 1,方差会减小;当 $ p = 0.5 $ 时,方差达到最大值 0.25。
通过以上分析可以看出,0-1分布虽然简单,但在实际问题中具有广泛的应用价值,尤其是在二元分类、概率建模等领域。理解其期望和方差有助于更好地掌握随机变量的统计特性。