【0-1分布的期望和方差】在概率论与数理统计中，0-1分布（也称为两点分布或伯努利分布）是最简单的一种离散型概率分布。它描述的是一个只有两种可能结果的随机试验，例如“成功”或“失败”，“是”或“否”，“正面”或“反面”等。

0-1分布的随机变量通常用 $ X $ 表示，其取值为 0 或 1，分别对应事件不发生和发生的概率。设事件发生的概率为 $ p $，则事件不发生的概率为 $ 1 - p $。因此，0-1分布的概率质量函数可以表示为：

$$

P(X = x) =

\begin{cases}

p, & x = 1 \\

1 - p, & x = 0

\end{cases}

$$

接下来，我们来总结0-1分布的期望和方差。

一、期望（均值）

期望反映了随机变量在长期试验中平均取值的大小。对于0-1分布来说，期望就是事件发生的概率 $ p $。

计算公式如下：

$$

E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p

$$

二、方差

方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度。对于0-1分布，方差的计算方式如下：

$$

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

$$

由于 $ X $ 只能取 0 或 1，所以 $ X^2 = X $，因此：

$$

E(X^2) = E(X) = p

$$

于是：

$$

Var(X) = p - p^2 = p(1 - p)

$$

三、总结表格

四、实际应用举例

假设我们进行一次抛硬币实验，正面朝上的概率为 $ p = 0.5 $，则：

- 期望：$ E(X) = 0.5 $

- 方差：$ Var(X) = 0.5 \times (1 - 0.5) = 0.25 $

如果我们将硬币换成不公平的硬币，比如正面概率为 $ p = 0.7 $，则：

- 期望：$ E(X) = 0.7 $

- 方差：$ Var(X) = 0.7 \times 0.3 = 0.21 $

可以看出，随着 $ p $ 接近 0 或 1，方差会减小；当 $ p = 0.5 $ 时，方差达到最大值 0.25。

通过以上分析可以看出，0-1分布虽然简单，但在实际问题中具有广泛的应用价值，尤其是在二元分类、概率建模等领域。理解其期望和方差有助于更好地掌握随机变量的统计特性。