【一元三次方程标准解法例子】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。求解一元三次方程的方法较为复杂，通常需要使用卡尔达诺公式（Cardano's formula）进行求解。本文将通过一个具体例子，展示一元三次方程的标准解法过程，并以加表格的形式呈现结果。
一、例题：解方程 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $
这是一个典型的三次方程，系数为：
- $ a = 1 $
- $ b = -6 $
- $ c = 11 $
- $ d = -6 $
二、解法步骤
第一步：消去二次项（化为“缺项”形式）
我们首先将原方程转化为没有 $ x^2 $ 项的方程，即“缺项三次方程”。为此，令：
$$
x = y + \frac{b}{3a} = y + \frac{-6}{3 \times 1} = y - 2
$$
代入原方程得：
$$
(y - 2)^3 - 6(y - 2)^2 + 11(y - 2) - 6 = 0
$$
展开并整理后得到：
$$
y^3 - 3y + 2 = 0
$$
这是一个“缺项三次方程”，形式为 $ y^3 + py + q = 0 $，其中：
- $ p = -3 $
- $ q = 2 $
第二步：应用卡尔达诺公式
对于方程 $ y^3 + py + q = 0 $，其解为：
$$
y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$
代入 $ p = -3 $, $ q = 2 $：
计算判别式：
$$
\Delta = \left( \frac{2}{2} \right)^2 + \left( \frac{-3}{3} \right)^3 = 1 + (-1) = 0
$$
由于判别式为零，说明方程有重根。此时可直接求解：
$$
y = \sqrt[3]{-1 + 0} + \sqrt[3]{-1 - 0} = -1 + (-1) = -2
$$
但此方法在此情况下不适用，应采用因式分解法。
第三步：试根法求解
尝试代入整数根，发现：
- 当 $ y = 1 $ 时，$ 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 0 $ → 成立
- 所以 $ y - 1 $ 是一个因式
用多项式除法或配方法将原方程分解为：
$$
(y - 1)(y^2 - 2y + 2) = 0
$$
再解二次方程 $ y^2 - 2y + 2 = 0 $：
$$
y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i
$$
因此，原方程的三个根为：
- $ y = 1 $
- $ y = 1 + i $
- $ y = 1 - i $
第四步：回代求原变量 $ x $
由于 $ x = y - 2 $，所以：
- $ x = 1 - 2 = -1 $
- $ x = (1 + i) - 2 = -1 + i $
- $ x = (1 - i) - 2 = -1 - i $
三、总结与表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 原方程 | $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $ |
| 2 | 消去二次项 | 令 $ x = y - 2 $，得 $ y^3 - 3y + 2 = 0 $ |
| 3 | 解方程 | 通过试根法和因式分解，得 $ y = 1, 1+i, 1-i $ |
| 4 | 回代求解 | 得到原方程的解为 $ x = -1, -1+i, -1-i $ |
四、结论
一元三次方程的求解过程较为复杂，通常需要结合试根法、因式分解、以及卡尔达诺公式等多种方法。在实际操作中，若方程存在整数根，优先使用试根法可以简化运算。对于无理根或复数根的情况，需借助代数方法进行准确求解。
通过上述例子可以看出，标准解法不仅依赖于数学公式的运用，还需要一定的观察力和技巧。
