【二分之一加六分之一加十二分之一加二十分之一的简便算法】在数学运算中，分数的加法常常需要通分，但有些特定的分数序列可以通过观察规律来简化计算。例如，题目中的“二分之一加六分之一加十二分之一加二十分之一”这一系列分数，看似复杂，其实存在一定的规律性，可以采用简便方法进行计算。
一、观察规律
我们先列出这些分数：
- $\frac{1}{2}$
- $\frac{1}{6}$
- $\frac{1}{12}$
- $\frac{1}{20}$
通过观察分子和分母的关系，可以发现它们的分母分别是：
- $2 = 1 \times 2$
- $6 = 2 \times 3$
- $12 = 3 \times 4$
- $20 = 4 \times 5$
也就是说，每个分数的形式为：$\frac{1}{n(n+1)}$，其中 $n=1,2,3,4$。
二、简便算法原理
对于形式为 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的分数，可以拆分为两个分数之差：
$$
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$$
利用这个性质，我们可以将原式转化为一个望远镜求和的形式，从而快速求和。
三、具体计算过程
根据上述公式，我们将每一项拆解如下：
| 项数 | 原分数 | 拆分形式 |
| 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ |
| 2 | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ |
| 3 | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ |
| 4 | $\frac{1}{20}$ | $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ |
将所有项相加：
$$
\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)
$$
可以看到，中间的项会相互抵消，最终只剩下首项和末项：
$$
\frac{1}{1} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
$$
四、总结
通过观察分数的结构并运用拆分技巧，可以非常方便地计算出“二分之一加六分之一加十二分之一加二十分之一”的和。这种方法不仅提高了计算效率，也增强了对分数规律的理解。
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 观察分数结构，发现分母为连续整数乘积 |
| 2 | 应用公式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ |
| 3 | 将每项拆分并求和，中间项相互抵消 |
| 4 | 最终结果为 $\frac{4}{5}$ |
通过这种简便算法，我们可以快速得出答案，避免了繁琐的通分过程，提升了数学思维与运算能力。
