【微积分公式介绍】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它主要包括微分学和积分学两部分，分别研究函数的变化率和累积量。为了便于理解和应用，以下是对常见微积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、微分公式
微分用于求函数在某一点的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分公式：
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、积分公式
积分用于计算函数在某一区间上的面积或累积值。积分分为不定积分和定积分两种类型，以下是常见的积分公式：
（1）基本不定积分
| 函数形式 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $ | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ |
（2）定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
三、常用微积分法则
除了上述基本公式外，还有一些重要的微积分法则，帮助我们处理复杂函数的求导与积分问题：
| 法则名称 | 内容 |
| 常数倍法则 | $ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) $ |
| 和差法则 | $ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、积分技巧
在实际应用中，常需使用一些积分技巧来简化计算，例如：
- 换元法（变量替换）
- 分部积分法
- 三角代换
- 有理函数分解
这些方法在处理复杂积分时非常有用，能够将难以直接积分的表达式转化为更易处理的形式。
总结
微积分是现代科学和技术的重要工具，掌握其基本公式和法则对于理解自然现象、解决实际问题具有重要意义。本文通过总结常见的微分与积分公式，并结合基本运算规则，为初学者和相关领域的学习者提供了一个清晰的参考指南。
