在高等数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们理解函数的变化规律。今天，我们将探讨一个有趣的函数组合——tanx - xtanx的求导问题。

首先，让我们明确这个函数的形式。函数可以写为：

\[ f(x) = \tan(x) - x\tan(x) \]

为了求解其导数，我们需要运用一些基本的微积分规则，包括导数的线性性质和乘积法则。

第一步：分解函数

将函数分解为两个部分：

\[ f(x) = g(x) - h(x) \]

其中：

\[ g(x) = \tan(x) \]

\[ h(x) = x\tan(x) \]

第二步：分别求导

根据导数的线性性质，我们有：

\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) \]

求 \( g'(x) \)

我们知道，\(\tan(x)\) 的导数是 \(\sec^2(x)\)，因此：

\[ g'(x) = \sec^2(x) \]

求 \( h'(x) \)

对于 \( h(x) = x\tan(x) \)，我们需要使用乘积法则。乘积法则的公式为：

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

这里，令 \( u = x \) 和 \( v = \tan(x) \)，则：

\[ u' = 1, \quad v' = \sec^2(x) \]

代入公式得：

\[ h'(x) = (1)(\tan(x)) + (x)(\sec^2(x)) \]

\[ h'(x) = \tan(x) + x\sec^2(x) \]

第三步：合并结果

将 \( g'(x) \) 和 \( h'(x) \) 合并：

\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) \]

\[ f'(x) = \sec^2(x) - (\tan(x) + x\sec^2(x)) \]

\[ f'(x) = \sec^2(x) - \tan(x) - x\sec^2(x) \]

最终结果

整理后，我们得到：

\[ f'(x) = \sec^2(x)(1 - x) - \tan(x) \]

通过以上步骤，我们成功地完成了对函数 \( \tan(x) - x\tan(x) \) 的求导过程。这一结果不仅展示了导数的基本运算技巧，还加深了我们对复合函数的理解。

希望这篇分析能够帮助你更好地掌握导数的相关知识！

---