【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，常用于计算空间中点与平面之间的最短距离。该距离可以通过数学公式直接求得，适用于各种工程、物理和计算机图形学等应用场景。

一、公式总结

设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其一般式为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量分量，$ D $ 是常数项。

则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

二、关键参数说明

三、使用步骤

1. 确定点坐标：明确点 $ P $ 的坐标 $ (x_0, y_0, z_0) $。

2. 写出平面方程：将平面表示为标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

3. 代入公式计算：将点坐标和系数代入距离公式。

4. 结果分析：根据计算结果判断点相对于平面的位置（正负号表示方向）。

四、示例计算

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - y + 3z - 5 = 0 $。

- $ A = 2 $, $ B = -1 $, $ C = 3 $, $ D = -5 $

- $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $, $ z_0 = 3 $

代入公式：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 5}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 5}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{4}{\sqrt{14}} \approx 1.069

$$

五、注意事项

- 公式要求平面方程必须是标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

- 若平面方程未写成标准形式，需先进行整理。

- 分子部分取绝对值，确保距离为非负值。

- 分母是法向量的模长，代表方向单位化后的长度。

六、表格对比

通过以上内容，我们可以清晰地理解“点到平面的距离公式”的原理及其应用方法，有助于在实际问题中快速准确地进行计算。