【叉乘的运算公式】叉乘，也称为向量积（Cross Product），是向量代数中一种重要的运算方式，常用于三维空间中。它主要用于计算两个向量之间的垂直方向，并且其结果是一个与原两向量都垂直的新向量。叉乘在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。
以下是叉乘的基本运算公式及其相关性质的总结：
一、叉乘的定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘 a × b 定义为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、叉乘的运算公式表
| 公式名称 | 公式表达式 | ||||||
| 叉乘定义式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ | ||||||
| 分量形式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 模长公式 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$（θ为两向量夹角） | |
| 方向特性 | 垂直于向量a和向量b，遵循右手定则 |
三、叉乘的性质
| 性质名称 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 数乘结合性 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ |
| 零向量性质 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
四、应用举例
例如：
若 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
五、总结
叉乘是一种在三维空间中非常有用的向量运算，其结果不仅具有方向性，还具有模长意义。通过掌握其运算公式和性质，可以更高效地进行几何分析、物理建模等任务。在实际应用中，合理使用叉乘能够帮助我们快速求解垂直方向、面积、力矩等问题。
