【高中数学投影向量公式是什么?】在高中数学中，向量的投影是一个重要的知识点，常用于解析几何、物理力学等领域。投影向量可以帮助我们理解一个向量在另一个向量方向上的“影子”长度或方向。掌握投影向量的公式对于解决相关问题非常关键。

一、投影向量的基本概念

向量的投影是指将一个向量沿着另一个向量的方向进行“压缩”或“映射”，得到一个新的向量。这个新向量与原向量在该方向上具有相同的投影长度，但方向一致。

二、投影向量的公式

设向量 a 和向量 b，其中 b ≠ 0，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为：

$$

\text{proj}_b a = \left( \frac{a \cdot b}{b^2} \right) b

$$

其中：

- $ a \cdot b $ 是向量 a 与 b 的点积；

- $ b $ 是向量 b 的模（即长度）；

- $ \text{proj}_b a $ 是向量 a 在向量 b 上的投影向量。

三、投影向量的性质

1. 投影向量的方向与 b 相同。

2. 投影向量的长度是 $ a \cos\theta $，其中 $ \theta $ 是 a 与 b 的夹角。

3. 若 $ a \perp b $，则投影向量为零向量。

四、投影向量与标量投影的区别

五、应用举例

例题：

已知向量 $ a = (3, 4) $，$ b = (1, 2) $，求向量 a 在 b 上的投影向量。

解：

1. 计算点积：

$ a \cdot b = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11 $

2. 计算 $ b^2 $：

$ b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 $

3. 计算投影向量：

$$

\text{proj}_b a = \left( \frac{11}{5} \right) (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)

$$

六、总结

高中数学中，向量的投影公式是解决几何和物理问题的重要工具。通过掌握投影向量的计算方法，可以更直观地理解向量之间的关系。无论是考试还是实际应用，都应熟练掌握这一内容。