在数学和物理中，三维空间向量是描述空间中点、方向和大小的重要工具。它广泛应用于工程、计算机图形学、物理学以及机器人学等领域。掌握三维空间向量的基本计算公式，有助于我们更高效地解决实际问题。
一、向量的基本概念
在三维空间中，一个向量通常表示为从原点出发指向某一点的有向线段，其坐标形式为：
$$
\vec{a} = (x, y, z)
$$
其中，$x$、$y$、$z$ 分别表示该向量在 $x$、$y$、$z$ 轴上的分量。
二、向量的加法与减法
设两个向量分别为 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则它们的加法与减法运算如下：
- 加法：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)
$$
- 减法：
$$
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)
$$
三、向量的模长（长度）
向量 $\vec{a} = (x, y, z)$ 的模长，即其长度，可以通过以下公式计算：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$
四、向量的点积（内积）
两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2
$$
此外，点积还可以用夹角 $\theta$ 表示为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
点积的结果是一个标量，常用于判断两向量之间的夹角或投影关系。
五、向量的叉积（外积）
向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 与 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ 的叉积结果是一个新的向量，记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其计算方式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}
= (y_1z_2 - z_1y_2)\mathbf{i} - (x_1z_2 - z_1x_2)\mathbf{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\mathbf{k}
$$
叉积的结果是一个与原两向量都垂直的向量，其模长等于这两个向量所构成平行四边形的面积。
六、单位向量
单位向量是指模长为 1 的向量。若已知一个非零向量 $\vec{a}$，则其对应的单位向量为：
$$
\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
$$
七、向量的方向余弦
向量 $\vec{a} = (x, y, z)$ 与三个坐标轴的夹角分别为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，则其方向余弦为：
$$
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}
$$
这些余弦值满足：
$$
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1
$$
通过以上基本公式，我们可以对三维空间中的向量进行各种运算和分析。无论是工程设计、游戏开发还是科学研究，掌握这些向量计算方法都是必不可少的基础技能。
