【标准正态分布公式】标准正态分布是统计学中最重要的一种概率分布，广泛应用于数据分析、质量控制、金融建模等领域。它是一种特殊的正态分布，均值为0，标准差为1。本文将对标准正态分布的公式进行总结，并通过表格形式展示其关键特征和应用。
一、标准正态分布的基本定义
标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一个连续型概率分布，记作 $ Z \sim N(0, 1) $。它的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, \quad -\infty < z < \infty
$$
其中：
- $ z $ 是随机变量；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于2.71828）；
- $ \pi $ 是圆周率（约等于3.14159）。
二、标准正态分布的关键特性
| 特性 | 描述 |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 对称性 | 关于 $ z = 0 $ 对称 |
| 概率密度函数形状 | 钟形曲线，单峰分布 |
| 总面积 | 1（概率总和为1） |
三、累积分布函数（CDF）
标准正态分布的累积分布函数（CDF）表示的是随机变量小于或等于某个值 $ z $ 的概率，记作：
$$
\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$$
由于该积分无法用初等函数表达，通常需要查表或使用数值计算工具（如Excel、Python的SciPy库）来求解。
四、标准正态分布的应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 统计推断 | 用于假设检验、置信区间计算 |
| 数据标准化 | 将数据转换为标准正态分布以进行比较 |
| 金融分析 | 用于风险评估、资产回报建模 |
| 机器学习 | 在模型训练中作为先验分布或误差分布 |
五、常见Z值与概率对照表（部分示例）
| Z值 | Φ(Z)（P(Z ≤ z)） |
| 0.0 | 0.5000 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 1.645 | 0.9500 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 2.58 | 0.9950 |
| 3.0 | 0.9987 |
六、总结
标准正态分布是统计学中的基础工具，具有对称性、易计算和广泛应用的特点。掌握其公式及其相关性质，有助于在实际问题中进行合理的数据分析和决策。通过表格形式可以更直观地理解其核心参数和应用方式，提升学习和使用的效率。
