【高一数学所有关于三角函数的公式】在高一数学中，三角函数是一个重要的学习内容，它不仅涉及角度与边长的关系，还广泛应用于几何、物理和工程等领域。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，以下是对高一数学中所有常见的三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形定义的，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。
| 函数名称 | 定义式 | 公式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ |
二、同角三角函数关系
这些公式反映了同一角度下不同三角函数之间的关系。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 $ $ \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 $ $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度转换）
用于将任意角的三角函数转换为锐角的三角函数。
| 角度变换 | 公式表达 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦和差角 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差角 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差角 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A $ $ \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 $ $ \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ |
七、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式的三角函数转化为和或差的形式，反之亦然。
| 公式类型 | 公式表达 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
八、三角函数图像与性质
| 函数名称 | 图像形状 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| 正弦函数 | 波浪线 | $ \mathbb{R} $ | $ [-1,1] $ | $ 2\pi $ | 奇函数 |
| 余弦函数 | 波浪线 | $ \mathbb{R} $ | $ [-1,1] $ | $ 2\pi $ | 偶函数 |
| 正切函数 | 双曲线 | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ | $ \mathbb{R} $ | $ \pi $ | 奇函数 |
通过以上整理，我们可以系统地掌握高一数学中关于三角函数的所有重要公式。建议同学们在学习过程中多做练习题，结合图形理解各公式的实际意义，从而更深入地掌握这一部分内容。
