【数学穿根法】在高中数学中，穿根法是一种用于解高次不等式、分式不等式以及多项式不等式的常用方法。它通过分析多项式的根和符号变化来快速判断不等式的解集。这种方法直观、高效，尤其适用于次数较高的多项式。
一、什么是穿根法？
穿根法，又称“数轴标根法”或“根轴法”，是根据多项式函数的图像特性，结合实数轴上的根点，分析函数在不同区间内的符号变化，从而求出不等式的解集。
其核心思想是：从右向左（或从左向右）依次穿过每个根点，根据奇偶次幂决定是否改变符号，最终确定不等式的解区间。
二、穿根法的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将不等式化为标准形式，如 $ f(x) > 0 $ 或 $ f(x) < 0 $，并将所有项移到一边，使右边为0。 |
| 2 | 将不等式左边的多项式分解因式，找到所有的实数根。 |
| 3 | 在数轴上标出所有实数根，并按从小到大的顺序排列。 |
| 4 | 从右往左（或从左往右）画出一条曲线，穿过每个根点。 |
| 5 | 根据最高次项的系数正负，判断最右端的符号；然后依次穿过每个根点，根据根的重数（奇偶性）决定是否改变符号。 |
| 6 | 根据不等式的符号要求（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集区间。 |
三、穿根法的关键点
| 关键点 | 说明 |
| 根的顺序 | 所有实数根必须按从小到大排列，确保穿根顺序正确。 |
| 奇偶次根 | 若根为奇数次，则穿过时符号改变；若为偶数次，则符号不变。 |
| 最高次项系数 | 最右端的符号由最高次项的系数决定，正则为正，负则为负。 |
| 边界点处理 | 对于不等式中的“等于”情况，需检查根是否包含在解集中。 |
四、穿根法示例
例题： 解不等式 $ (x+1)(x-2)^2(x-3) > 0 $
步骤如下：
1. 不等式已标准化。
2. 实数根为：$ x = -1, 2, 3 $
3. 在数轴上标出这些点，按顺序排列：-1, 2, 3
4. 从右往左画线：
- 右边为 $ x > 3 $，最高次项为 $ x^4 $，系数为正 → 符号为正
- 穿过 $ x=3 $，奇数次根 → 符号变负
- 穿过 $ x=2 $，偶数次根 → 符号不变
- 穿过 $ x=-1 $，奇数次根 → 符号变正
解集为： $ (-1, 2) \cup (3, +\infty) $
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 穿根法 |
| 适用对象 | 高次不等式、分式不等式、多项式不等式 |
| 核心思想 | 分析根点及符号变化，确定不等式解集 |
| 关键步骤 | 化简、找根、排序、穿根、判断符号、确定区间 |
| 注意事项 | 奇偶次根、最高次项符号、边界点处理 |
| 示例不等式 | $ (x+1)(x-2)^2(x-3) > 0 $ |
| 解集 | $ (-1, 2) \cup (3, +\infty) $ |
通过掌握穿根法，学生可以更快速地解决复杂的不等式问题，提高解题效率与准确性。
