【已知相交两圆半径长分别为15和20,圆心距为25,求两圆公共弦长】在几何中，当两个圆相交时，它们的公共弦是连接两圆交点的线段。若已知两圆的半径以及它们的圆心之间的距离，可以通过几何方法计算出公共弦的长度。
一、解题思路
设两圆的半径分别为 $ R = 20 $ 和 $ r = 15 $，圆心之间的距离为 $ d = 25 $。我们要求的是两圆的公共弦长度。
1. 作图分析：将两圆画出，连接两圆心 $ O_1 $ 和 $ O_2 $，并作公共弦 $ AB $。设公共弦与连心线 $ O_1O_2 $ 的交点为 $ M $，则 $ M $ 是公共弦的中点。
2. 利用勾股定理：分别在三角形 $ O_1MA $ 和 $ O_2MA $ 中使用勾股定理，建立方程组求解 $ AM $，从而得到 $ AB = 2 \times AM $。
二、公式推导
设公共弦中点到 $ O_1 $ 的距离为 $ x $，则到 $ O_2 $ 的距离为 $ d - x $。
根据勾股定理：
$$
x^2 + h^2 = r^2 = 15^2 = 225 \\
(d - x)^2 + h^2 = R^2 = 20^2 = 400
$$
联立两式：
$$
(d - x)^2 - x^2 = 400 - 225 = 175 \\
d^2 - 2dx + x^2 - x^2 = 175 \\
25^2 - 2 \times 25 \times x = 175 \\
625 - 50x = 175 \\
50x = 450 \\
x = 9
$$
代入第一式求 $ h $：
$$
9^2 + h^2 = 225 \Rightarrow h^2 = 225 - 81 = 144 \Rightarrow h = 12
$$
因此，公共弦长为：
$$
AB = 2h = 2 \times 12 = 24
$$
三、总结与表格展示
| 参数 | 数值 |
| 圆1半径 $ R $ | 20 |
| 圆2半径 $ r $ | 15 |
| 圆心距 $ d $ | 25 |
| 公共弦中点到圆心1的距离 $ x $ | 9 |
| 公共弦中点到圆心2的距离 $ d - x $ | 16 |
| 公共弦高 $ h $ | 12 |
| 公共弦长度 $ AB $ | 24 |
四、结论
通过几何分析与代数运算，可以得出：当两个圆的半径分别为15和20，且圆心距为25时，它们的公共弦长度为 24。该结果符合几何规律，也验证了勾股定理在实际问题中的应用价值。
