在数学分析中，泰勒展开式是一种将函数表示为无限级数的方法，它在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。泰勒展开的核心思想是用多项式来近似一个光滑函数，尤其在函数难以直接计算或需要进行数值分析时，泰勒展开提供了强大的工具。
下面列出了泰勒展开式中最常用的10个公式，这些公式适用于不同类型的函数，并且在实际应用中非常常见。
1. 指数函数 $ e^x $
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$
该展开式在 $ x = 0 $ 处（即麦克劳林级数）具有极高的精度和广泛的应用。
2. 正弦函数 $ \sin x $
$$
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
$$
这是一个奇函数的展开，仅包含奇次幂项。
3. 余弦函数 $ \cos x $
$$
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
$$
这是偶函数的展开，仅包含偶次幂项。
4. 自然对数函数 $ \ln(1+x) $
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|x| < 1)
$$
注意：该展开仅在 $ |x| < 1 $ 时收敛。
5. 反正切函数 $ \arctan x $
$$
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad (|x| \leq 1)
$$
这个展开在 $ x = 1 $ 处收敛，可以用于计算 π 的近似值。
6. 幂函数 $ (1+x)^k $（二项式展开）
$$
(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots
$$
其中 $ \binom{k}{n} $ 是广义组合数，适用于任意实数 $ k $。
7. 双曲正弦函数 $ \sinh x $
$$
\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
$$
与 $ \sin x $ 类似，但不带负号。
8. 双曲余弦函数 $ \cosh x $
$$
\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
$$
与 $ \cos x $ 相似，但没有负号。
9. 对数函数 $ \ln(1-x) $
$$
\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|x| < 1)
$$
与 $ \ln(1+x) $ 相反，符号全为负。
10. 指数函数 $ e^{-x} $
$$
e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$
这是 $ e^x $ 在 $ x $ 前加负号后的结果，常用于概率论和物理中的衰减模型。
小结
以上十种泰勒展开式涵盖了常见的初等函数和特殊函数，它们在近似计算、数值分析以及理论推导中都扮演着重要角色。掌握这些公式不仅有助于理解函数的行为，还能在实际问题中提供高效的近似方法。
无论你是学生、研究者还是工程师，熟练运用这些展开式都能显著提升你的数学建模与计算能力。
