解题思路

在三角函数中，\(\tan A\) 是正切值，定义为 \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)。已知 \(\tan A = 3\)，即 \(\frac{\sin A}{\cos A} = 3\)。因此可以设 \(\sin A = 3k\)，\(\cos A = k\)（其中 \(k > 0\)），并通过三角函数的基本关系式 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) 来求解 \(k\) 的具体值。

具体步骤

1. 根据基本关系式：

\[

\sin^2 A + \cos^2 A = 1

\]

将 \(\sin A = 3k\) 和 \(\cos A = k\) 代入：

\[

(3k)^2 + k^2 = 1

\]

化简得：

\[

9k^2 + k^2 = 1

\]

\[

10k^2 = 1

\]

\[

k^2 = \frac{1}{10}

\]

\[

k = \frac{1}{\sqrt{10}}

\]

2. 求解 \(\sin A\) 和 \(\cos A\)：

\[

\sin A = 3k = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

\]

\[

\cos A = k = \frac{1}{\sqrt{10}}

\]

3. 确定符号：

因为 \(\tan A = 3 > 0\)，所以角 \(A\) 可能位于第一象限或第三象限。根据题目未明确限制象限，我们默认 \(A\) 在第一象限时，\(\sin A > 0\) 且 \(\cos A > 0\)。

最终答案

\[

\boxed{\sin A = \frac{3}{\sqrt{10}}, \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}}

\]