【概率论与数理统计公式】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握基本的公式是理解相关概念和解决实际问题的关键。本文将对常见的概率论与数理统计公式进行总结，并以表格形式呈现，帮助读者更清晰地理解和记忆。
一、概率论基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少有一个发生的概率 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $, $ P(B) > 0 $ | 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i) $ | 当事件A由多个互斥事件$ B_1, B_2, ..., B_n $引起时，计算其总概率 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A | B_j)} $ | 在已知结果A的情况下，反推各原因$ B_i $的概率 |
二、随机变量及其分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 离散型随机变量分布律 | $ P(X = x_i) = p_i $ | 表示随机变量X取各个值的概率 |
| 数学期望（期望） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ | 表示随机变量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 常见分布：二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | 描述n次独立试验中成功次数的概率分布 |
| 常见分布：泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | 描述单位时间内事件发生次数的概率分布 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述连续型随机变量的常见分布 |
三、数理统计常用公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 描述样本数据的集中趋势 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 描述样本数据的离散程度 |
| 标准正态分布 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $ | 将正态变量标准化为标准正态变量 |
| 置信区间（均值） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验（Z检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 用于检验总体均值是否等于某个假设值 |
四、相关系数与回归分析
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 相关系数 | $ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} $ | 衡量两变量之间的线性相关程度 |
| 一元线性回归方程 | $ y = a + bx $ | 用一个自变量预测因变量的模型 |
| 回归系数 | $ b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} $, $ a = \bar{y} - b\bar{x} $ | 计算回归直线的斜率和截距 |
总结
概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，涉及大量公式和计算方法。掌握这些公式不仅有助于理论学习，也能在实际数据分析中发挥重要作用。通过上述表格，可以系统地了解各类公式及其应用场景，为后续深入学习打下坚实基础。
