【定积分公式】在数学中，定积分是微积分的重要组成部分，用于计算函数在某一区间上的累积量。它不仅在数学理论中具有重要地位，在物理、工程、经济学等领域也有广泛应用。本文将对常见的定积分公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本定义
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其定积分定义为：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \Delta x
$$
其中，$\Delta x = \frac{b - a}{n}$，$x_i^$ 是第 $i$ 个小区间的任意一点。
二、常见定积分公式总结
| 函数类型 | 定积分表达式 | 积分结果 | |
| 常数函数 | $\int_{a}^{b} C \, dx$ | $C(b - a)$ | |
| 幂函数 | $\int_{a}^{b} x^n \, dx$（$n \neq -1$） | $\frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n + 1}$ | |
| 指数函数 | $\int_{a}^{b} e^x \, dx$ | $e^b - e^a$ | |
| 对数函数 | $\int_{a}^{b} \ln x \, dx$ | $b \ln b - a \ln a - (b - a)$ | |
| 三角函数 | $\int_{a}^{b} \sin x \, dx$ | $-\cos b + \cos a$ | |
| 三角函数 | $\int_{a}^{b} \cos x \, dx$ | $\sin b - \sin a$ | |
| 反三角函数 | $\int_{a}^{b} \arctan x \, dx$ | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)\Big | _a^b$ |
| 有理函数 | $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} \, dx$ | $\ln b - \ln a$ |
三、性质与技巧
1. 线性性质：
$$
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
$$
2. 积分区间可加性：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx
$$
3. 对称性：
若 $ f(-x) = f(x) $，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \, dx$
若 $ f(-x) = -f(x) $，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$
4. 换元法：
设 $ x = \phi(t) $，则
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) \, dt
$$
5. 分部积分法：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
四、应用举例
- 面积计算：由曲线 $ y = f(x) $ 与 $ x $ 轴围成的区域面积为 $\int_{a}^{b}
- 物理应用：如求变速运动的位移、变力做功等。
- 概率论：正态分布的概率密度函数的积分可用于计算概率。
五、结语
定积分是连接微分和积分的核心工具，掌握其基本公式和性质对于深入理解数学及实际问题的解决至关重要。通过熟练运用这些公式，可以更高效地处理各种复杂的积分问题。
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