【二阶常系数非齐次线性微分方程特解】在微分方程的学习中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的内容。这类方程的一般形式为：
$$
y'' + py' + qy = f(x)
$$
其中 $ p $、$ q $ 是常数，$ f(x) $ 是非齐次项，即不为零的函数。求解这类方程的关键在于找到对应的齐次方程的通解以及一个非齐次方程的特解。
一、特解的求法概述
对于非齐次方程，通常采用待定系数法或常数变易法来寻找特解。其中，待定系数法适用于 $ f(x) $ 是多项式、指数函数、正弦或余弦函数等常见形式的情况。
二、常用非齐次项及其对应特解形式
以下表格列出了常见的非齐次项 $ f(x) $ 及其对应的特解形式（假设 $ f(x) $ 不是齐次方程的解）：
| 非齐次项 $ f(x) $ | 特解形式 $ y_p $ |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $ |
| $ x^n $ | $ A_0 + A_1x + \cdots + A_nx^n $ |
| $ e^{ax}\cos(bx) $ | $ e^{ax}(A\cos(bx) + B\sin(bx)) $ |
| $ e^{ax}\sin(bx) $ | $ e^{ax}(A\cos(bx) + B\sin(bx)) $ |
| $ x^n e^{ax} $ | $ e^{ax}(A_0 + A_1x + \cdots + A_nx^n) $ |
| $ x^n \cos(bx) $ | $ x^k (A_0 + A_1x + \cdots + A_nx^n)\cos(bx) + (B_0 + B_1x + \cdots + B_nx^n)\sin(bx) $ |
> 说明：若 $ f(x) $ 是齐次方程的解，则需将特解形式乘以 $ x^k $，其中 $ k $ 是该解的重数。
三、步骤总结
1. 求齐次方程的通解
解特征方程 $ r^2 + pr + q = 0 $，根据根的不同情况写出通解。
2. 确定非齐次项的形式
分析 $ f(x) $ 的类型，选择合适的特解形式。
3. 代入原方程求待定系数
将特解代入原方程，比较两边系数，解出待定常数。
4. 写出通解
齐次通解加上特解即为原方程的通解。
四、示例分析
例题：求方程 $ y'' - 3y' + 2y = e^{2x} $ 的特解。
- 齐次方程：$ y'' - 3y' + 2y = 0 $，特征方程为 $ r^2 - 3r + 2 = 0 $，解得 $ r = 1, 2 $，通解为 $ y_h = C_1e^x + C_2e^{2x} $。
- 非齐次项：$ f(x) = e^{2x} $，而 $ e^{2x} $ 是齐次解之一，因此特解应设为 $ y_p = Axe^{2x} $。
- 代入计算：求导后代入方程，解得 $ A = 1 $，故特解为 $ y_p = xe^{2x} $。
五、总结
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解过程需要结合非齐次项的形式和齐次方程的解来合理选择特解形式，并通过代入计算确定具体参数。掌握这一方法有助于更系统地理解微分方程的解法，并应用于实际问题中。
表：非齐次项与特解形式对照表
| 非齐次项 $ f(x) $ | 特解形式 $ y_p $ | 备注 |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $ | 若 $ a $ 是特征根，乘 $ x $ |
| $ x^n $ | $ A_0 + A_1x + \cdots + A_nx^n $ | 无重根时直接使用 |
| $ e^{ax}\cos(bx) $ | $ e^{ax}(A\cos(bx) + B\sin(bx)) $ | 同上 |
| $ x^n e^{ax} $ | $ e^{ax}(A_0 + A_1x + \cdots + A_nx^n) $ | 有重根时乘 $ x $ |
| $ x^n \cos(bx) $ | $ x^k (A_0 + \cdots + A_nx^n)\cos(bx) + (B_0 + \cdots + B_nx^n)\sin(bx) $ | 重根影响形式 |
