在数学领域中，黎曼函数是一个非常有趣且重要的概念。它是由德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）提出的。黎曼函数的核心在于其定义方式和性质，特别是关于它的可积性问题。

黎曼函数通常被定义在一个闭区间上，比如[0, 1]。这个函数的特点是，在有理数点上取值为1/q（其中q是该有理数表示中的分母，假设分数已经化简），而在无理数点上取值为0。这种定义方式使得黎曼函数在有理数集上的值不连续，但在无理数集上却是连续的。

那么，黎曼函数为何被认为是可积的呢？这需要从黎曼积分的基本原理出发进行分析。黎曼积分的基本思想是在一个区间内将函数分割成无数个小段，并通过这些小段的面积来近似整个区间的面积。如果这些小段的总面积能够收敛到一个确定的值，则称该函数在这个区间上是可积的。

对于黎曼函数而言，尽管它在有理数点上不连续，但由于有理数在整个实数轴上是稠密的但又是可数的，而无理数则是不可数的且占据主导地位。因此，在任意一个小段内，无理数的数量远远超过有理数的数量。这意味着，在计算黎曼积分时，主要贡献来自于无理数部分，而无理数对应的函数值恒为0。因此，无论如何划分区间，黎曼函数的积分值始终为0。

此外，黎曼函数还满足另一个关键条件：对于任意给定的ε>0，总可以找到一个分割使得所有小段的长度乘以函数值的最大值之和小于ε。这一性质进一步证明了黎曼函数的可积性。

综上所述，尽管黎曼函数在某些点上表现出明显的不连续性，但由于其独特的结构特性以及与无理数的关系，它仍然符合黎曼积分的可积条件。这也是为什么黎曼函数被认为是可积的原因之一。这种现象不仅展示了数学理论的强大之处，也为更深入的研究提供了丰富的素材。