【点乘怎么算】点乘，也称为数量积或内积，是向量运算中的一种基本形式。它在数学、物理和工程学中有着广泛的应用，比如计算力的做功、投影长度等。点乘的结果是一个标量（即一个数值），而不是一个向量。
点乘的定义如下：对于两个向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的点乘为：
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ
也就是说，将两个向量对应分量相乘后求和。
此外，点乘也可以通过向量的模长和夹角来计算：
a · b =
其中，θ 是两个向量之间的夹角，
点乘的性质总结
| 性质名称 | 描述 | ||
| 交换律 | a · b = b · a | ||
| 分配律 | a · (b + c) = a · b + a · c | ||
| 数乘结合律 | (k a) · b = k(a · b) = a · (k b) | ||
| 零向量性质 | a · 0 = 0 | ||
| 正交性 | 如果 a · b = 0，则向量 a 和 b 垂直（正交） | ||
| 模长关系 | a · a = | a | ² |
点乘的计算示例
| 向量 a | 向量 b | 点乘结果 a·b |
| (1, 2) | (3, 4) | 1×3 + 2×4 = 3 + 8 = 11 |
| (2, -1, 5) | (0, 3, -2) | 2×0 + (-1)×3 + 5×(-2) = 0 -3 -10 = -13 |
| (5, 0) | (0, 7) | 5×0 + 0×7 = 0 |
小结
点乘是一种重要的向量运算方式，不仅可以用于几何分析，还可以用于物理中的能量、功等计算。掌握点乘的定义和性质，有助于理解更复杂的向量运算，并应用于实际问题中。
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