【两点式直线方程公式】在解析几何中，已知平面上两点坐标，可以确定一条唯一的直线。而“两点式直线方程公式”正是用于根据两个点的坐标来求解这条直线的方程。该公式是直线方程的一种重要形式，适用于没有斜率或截距信息的情况。
一、两点式直线方程公式简介
设平面内有两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，且 $ x_1 \neq x_2 $，则通过这两点的直线方程可以用以下公式表示：
$$
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
$$
这个公式也常写成：
$$
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
$$
其中，分子部分为纵坐标差，分母部分为横坐标差，比例关系反映了直线的斜率。
二、公式适用条件
- 两点不重合（即 $ x_1 \neq x_2 $ 或 $ y_1 \neq y_2 $）
- 当 $ x_1 = x_2 $ 时，直线为垂直于x轴的直线，此时不能使用此公式，应直接写成 $ x = x_1 $
- 当 $ y_1 = y_2 $ 时，直线为水平线，同样需单独处理
三、公式推导思路
1. 设直线过点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $
2. 直线的斜率为：$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
3. 根据点斜式方程：$ y - y_1 = k(x - x_1) $
4. 将斜率代入得：$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $
5. 整理后得到两点式方程
四、常见应用示例
| 点A | 点B | 两点式方程 |
| (1, 2) | (3, 6) | $\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$ |
| (0, 5) | (2, 1) | $\frac{y - 5}{1 - 5} = \frac{x - 0}{2 - 0}$ |
| (-1, 3) | (4, -2) | $\frac{y - 3}{-2 - 3} = \frac{x + 1}{4 + 1}$ |
五、总结
“两点式直线方程公式”是解决已知两点求直线方程的重要工具，具有直观性和实用性。掌握其原理和使用方法，有助于更深入理解直线方程的各种形式，并能灵活应用于实际问题中。同时，需要注意公式的适用范围，避免因特殊情况导致错误。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 两点式直线方程公式 |
| 公式表达式 | $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ |
| 适用条件 | 两点不重合，且 $x_1 \neq x_2$ |
| 推导方式 | 由点斜式推导而来 |
| 特殊情况 | 垂直线或水平线需单独处理 |
| 应用场景 | 已知两点求直线方程 |
