【概率分布函数】在概率论与统计学中，概率分布函数是描述随机变量取值的概率规律的重要工具。根据随机变量的类型不同，概率分布函数可以分为概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF），而累积分布函数（CDF）则用于描述随机变量小于或等于某个值的概率。
以下是对常见概率分布函数的总结，包括其定义、适用场景及数学表达式。
一、概率质量函数（PMF）
适用于离散型随机变量，表示随机变量取某一个具体值的概率。
| 分布名称 | 数学表达式 | 定义域 | 说明 |
| 伯努利分布 | $ P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x} $ | $ x \in \{0, 1\} $ | 描述一次试验成功或失败的概率 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ k = 0, 1, ..., n $ | 多次独立试验中成功次数的概率分布 |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ k = 0, 1, 2, ... $ | 描述单位时间内事件发生次数的概率 |
二、概率密度函数（PDF）
适用于连续型随机变量，表示随机变量在某一区间内的概率密度。
| 分布名称 | 数学表达式 | 定义域 | 说明 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ a \leq x \leq b $ | 在区间 [a, b] 上均匀分布的密度函数 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ x \in (-\infty, +\infty) $ | 最常见的连续分布，描述自然现象的随机变量 |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ x \geq 0 $ | 描述事件发生时间间隔的概率分布 |
三、累积分布函数（CDF）
无论随机变量是离散还是连续，累积分布函数都表示随机变量小于或等于某个值的概率。
| 分布名称 | 数学表达式 | 说明 |
| 伯努利分布 | $ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 - p & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x \geq 1 \end{cases} $ | 累积概率随取值变化 |
| 正态分布 | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt $ | 用于计算随机变量小于等于某值的概率 |
四、总结
概率分布函数是理解随机现象的核心工具，通过不同的函数形式（PMF、PDF、CDF），我们可以对各种类型的随机变量进行建模和分析。掌握这些函数的性质和应用场景，有助于我们在实际问题中做出更准确的概率判断和统计推断。
在实际应用中，选择合适的分布函数对数据建模至关重要，例如在金融风险评估、医学研究、工程可靠性分析等领域都有广泛应用。
