【E(x)（与及D(x)及之间及有哪些公式）】在概率论和统计学中，E(x) 和 D(x) 是两个非常重要的概念。E(x) 表示随机变量的期望值（数学期望），而 D(x) 表示方差（variance）。它们分别反映了随机变量的集中趋势和离散程度。以下是 E(x) 与 D(x) 之间的主要公式及其关系总结。
一、基本定义
| 概念 | 定义 | 公式 |
| 数学期望 E(X) | 随机变量 X 的平均取值 | $ E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i) $（离散） $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $（连续） |
| 方差 D(X) | 随机变量 X 与其期望值的偏离程度 | $ D(X) = E[(X - E(X))^2] $ |
二、E(X) 与 D(X) 之间的关系公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 方差的展开式 | $ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 方差可以表示为 X 平方的期望减去期望的平方 |
| 线性变换后的方差 | $ D(aX + b) = a^2 D(X) $ | 常数项 b 不影响方差，a 为常数系数 |
| 两个独立变量的方差 | $ D(X + Y) = D(X) + D(Y) $ | 当 X 与 Y 独立时，方差可相加 |
| 两个变量的协方差 | $ \text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $ | 协方差是衡量两变量相关性的指标 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} $ | 相关系数是标准化后的协方差 |
三、常见分布中的 E(X) 与 D(X)
| 分布类型 | 数学期望 E(X) | 方差 D(X) |
| 二项分布 B(n, p) | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 P(λ) | $ λ $ | $ λ $ |
| 正态分布 N(μ, σ²) | $ μ $ | $ σ^2 $ |
| 均匀分布 U(a, b) | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 Exp(λ) | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
E(X) 和 D(X) 是描述随机变量特性的两个核心指标。E(X) 反映了数据的中心位置，而 D(X) 则反映了数据的波动范围。两者之间存在多种数学关系，如方差的展开式、线性变换后的方差变化等。掌握这些公式对于理解概率模型、进行数据分析和统计推断具有重要意义。
通过表格形式的整理，可以更清晰地看到 E(X) 与 D(X) 在不同情况下的计算方式及相互关系，有助于加深对概率统计知识的理解和应用。
