在数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念，而其中复合函数的性质更是常常出现在考试和习题中。今天我们就来探讨一下复合函数的奇偶性问题，并通过一个经典的例题帮助大家更好地理解这一知识点。
什么是复合函数？
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。如果函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 已知，那么它们的复合函数可以表示为 \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) 或者 \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)。复合函数的性质往往与原函数的性质密切相关。
奇偶性的定义
- 奇函数：如果对于任意 \( x \) 都有 \( f(-x) = -f(x) \)，则称 \( f(x) \) 为奇函数。
- 偶函数：如果对于任意 \( x \) 都有 \( f(-x) = f(x) \)，则称 \( f(x) \) 为偶函数。
经典例题
已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x \)，\( g(x) = x^2 - 1 \)，求复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 的奇偶性。
解答步骤：
1. 写出复合函数表达式：
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1)
\]
将 \( g(x) = x^2 - 1 \) 代入 \( f(x) = x^3 + 2x \)，得到：
\[
(f \circ g)(x) = (x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)
\]
2. 检验奇偶性：
要判断 \( (f \circ g)(x) \) 是否是奇函数或偶函数，我们需要计算 \( (f \circ g)(-x) \) 并与 \( (f \circ g)(x) \) 进行比较。
计算 \( (f \circ g)(-x) \)：
\[
(f \circ g)(-x) = ((-x)^2 - 1)^3 + 2((-x)^2 - 1)
\]
注意到 \( (-x)^2 = x^2 \)，所以：
\[
(f \circ g)(-x) = (x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)
\]
比较 \( (f \circ g)(-x) \) 和 \( (f \circ g)(x) \)，发现两者完全相同。因此，复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 是偶函数。
3. 结论：
复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 是偶函数。
总结
通过这个例题，我们可以看到复合函数的奇偶性可以通过直接代入和计算来验证。关键在于理解奇偶性的定义，并能够熟练地进行代数运算。希望这个例题能帮助大家更好地掌握复合函数的奇偶性知识！
