在数学的世界里，角度与三角函数之间的关系总是充满着奇妙的联系。今天，我们来探讨一个特定的角度——75度，并尝试计算其正弦值（sin75°）。这个看似简单的任务实际上需要结合一些基本的三角恒等式和几何知识。

首先，我们需要知道75度可以被拆解为两个更小的角度之和，即75° = 45° + 30°。这一步骤非常重要，因为它为我们提供了利用加法公式的机会。根据三角函数的加法公式，我们可以写出如下表达式：

\[

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)

\]

接下来，应用正弦函数的加法公式：

\[

\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)

\]

将a设为45°，b设为30°代入公式：

\[

\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)

\]

现在，我们需要查找标准三角函数表中的已知值：

- \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)，\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

把这些值代入上述公式中：

\[

\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)

\]

简化每一项：

\[

\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

\]

最后合并同类项：

\[

\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\]

因此，75度的正弦值为\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)。

通过这种方法，我们不仅解决了问题，还复习了三角函数的基本性质以及如何灵活运用它们解决问题。希望这篇文章能帮助你更好地理解这一知识点！

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